Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2011 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 15, 2022, 03:52:41 ös
-
$(x^3+2x^2-x)^{10} + (x^3+2x^2-x)^9 + \cdots + (x^3+2x^2-x)^1 =2011$ denkleminin tüm (reel ve kompleks) köklerinin kareleri toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 60 \qquad\textbf{c)}\ 50 \qquad\textbf{d)}\ 40 \qquad\textbf{e)}\ 30$
-
Yanıt : $\boxed {B}$
Bir $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_0$ polinomu için köklerin kareleri toplamının $(\frac{a_{n-1}}{a_n})^2-\frac{2a_{n-2}}{a_n}$ olduğunu biliyoruz. Bu polinom için bu değerleri bulalım. Bu terimlerin tümünün $(x^3+2x^2-x)^{10}$ ifadesinden geleceği açıktır. Bu ifadeyi $x^{10}(x^2+(2x-1))^{10}$ olarak düşünelim. $x^{30}$ için katsayının $1$ olduğu barizdir. $(x^2+(2x-1))^{10}$ ifadesinde $x^{19/18}$'e bakacağız. İfadenin açılımı binomdan $x^{20}+10\cdot x^{18}\cdot (2x-1)+45\cdot x^{16}\cdot (2x-1)^{2}+\cdots$ şeklindedir. Geri kalan kısımlar herhangi bir katkı sağlamaz. Bu kısımda düzenleme yaparsak $x^{20}+20x^{19}+170x^{18}$ gelir. Başta dediğimiz işlemi yaparsak cevap $400-340=60$ bulunur.