Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2011 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 15, 2022, 03:47:09 ös

Başlık: 2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13
Gönderen: matematikolimpiyati - Ekim 15, 2022, 03:47:09 ös

Kenarları asal sayı ve alanı tam sayı olan kaç üçgen vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}$

Başlık: Ynt: 2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13
Gönderen: diktendik - Temmuz 15, 2024, 09:24:39 ös

Yanıt : $\boxed {C}$

Kenarlar $p,q,r$ olsun. Herondan alan $\frac{\sqrt{(p+q+r)(p+q-r)(p+r-q)(r+q-p)}}{4}$ olur. Bunun tamsayi olması için kokun içindeki sayı çift olmalıdır. Sayıların hepsi tek asal sayılar olursa bu sağlanmaz. Sayılardan en az biri $2$'dir. Üçgen eşitsizliginden $|p-q|<2$ olduğunu biliyoruz. Buradan $-1\leq|p-q|\leq1$ gelir. $p$ ve $q$ nün ardışık asal sayılar veya aynı sayı olduğu anlaşılır. İlk durum denklemde yerine yazılırsa. İfade tamsayi olmaz. Diğer durum içinde çözüm olmadığı rahatlıkla görülür. Hiç çözüm yoktur.