Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2010 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 13, 2022, 09:42:19 ös
-
Farklı olmaları gerekmeyen $100$ reel sayıdan oluşan bir kümede$,$ her sayı$,$ geriye kalan $99$ sayının toplamının $1/7$'sinden büyük olsun. Bu kümedeki negatif sayıların sayısı en az kaçtır?
$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$
-
Cevap: $\boxed{D}$
Bu $100$ sayının toplamı $S$ olsun. Bu sayılar arasındaki herhangi bir $x$ için $$x>\frac{S-x}{7}\implies x>\frac{S}{8}$$ olacaktır. Herhangi $8$ tane elemanı aldığımızda $x_1+x_2+\cdots+x_8>S=x_1+x_2+\cdots+x_{100}$ olacağından geri kalan $92$ eleman içinde her zaman bir negatif sayı olmalıdır. Eğer $8$ veya daha az negatif sayı varsa, bunları içeren $8$ sayı seçtiğimizde kalan $92$ eleman içinde negatif sayı olmayacak, bu da bir çelişki çıkartacaktır. Yani en az $9$ tane negatif sayı vardır. Buna örnek bulmaya çalışalım. $9$ tane $-100$ ve $91$ tane $0$ seçersek, $S=-900$ olacak ve her eleman için $$x>\frac{-900}{8}=-112.5$$ doğru olacaktır.