Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2010 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 12, 2022, 07:11:34 ös

Başlık: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09
Gönderen: matematikolimpiyati - Ekim 12, 2022, 07:11:34 ös

$S= \dfrac{10}{10^4+10^2+1} + \dfrac{11}{11^4+11^2+1} + \dfrac{12}{12^4+12^2+1} + \cdots + \dfrac{100}{100^4+100^2+1}$

ise $2S+\dfrac{1}{10101}$ toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{259}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{39}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{111}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{91}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{101}$

Başlık: Ynt: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09
Gönderen: diktendik - Temmuz 09, 2024, 01:01:53 öö

Yanıt : $\boxed {D}$

$x$ için ifadelerimizi $$\frac{x}{x^4+x^2+1}=\frac{x}{(x^2+1)^2-x^2}=\frac{x}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}=\frac{\frac{1}{x^2-x+1}-\frac{1}{x^2+x+1}}{2}$$ olarak yazalım. $x+1$'in $a^2-a+1$ içingörüntüsü $x$'in $a^2+a+1$ için görüntüsüne eşittir. Bu yüzden $\frac{1}{10^2-10+1}-\frac{1}{100^2+100+1}$ dışındaki terimler sadeleşir ve $S=\frac{\frac{1}{10^2-10+1}-\frac{1}{100^2+100+1}}{2}$ olur ve $2S=\frac{1}{91}-\frac{1}{10101}$ elde edilir. Cevap $\frac{1}{91}$ bulunur.