Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2010 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 12, 2022, 06:45:14 ös

Başlık: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02
Gönderen: matematikolimpiyati - Ekim 12, 2022, 06:45:14 ös

$20!$ sayısının sonundaki tüm sıfırlar atılırsa$,$ son rakam ne olur?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

Başlık: Ynt: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02
Gönderen: Metin Can Aydemir - Temmuz 08, 2024, 09:32:47 ös

Cevap: $\boxed{A}$

Öncelikle $20!$ sonunda kaç sıfır olduğuna bakalım. $5,10,15,20$ çarpanlarından dolayı son $4$ basamak $0$'dır. Bu yüzden bize $\frac{20!}{10^4}$'ün $10$ bölümünden kalan gerecektir. Çin kalan teoreminden, $5$ ve $2$'ye bakmalıyız. $2\mid \frac{20!}{10^4}$'dir. $1,2,\dots,20$ sayılarının $5$'e bölümünden kalana bakalım, $$\frac{20!}{10^4}\equiv \frac{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)^5}{2^4}\equiv 4\pmod{5}$$ olduğundan $\frac{20!}{10^4}\equiv 4\pmod{10}$ bulunur.