Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2022 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ekim 10, 2022, 05:30:45 ös
-
Negatif olmayan $a, b$ ve $c$ sayıları $a+b+c=2\sqrt{abc}$ koşulunu sağlıyor.
$$ bc \geq b + c $$
olduğunu gösteriniz.
-
Çözüm[Lokman GÖKÇE]: Tersten başlayalım:
$ \qquad \quad bc \geq b+c \\
\iff a + bc \geq a + b+c \\
\iff a + bc \geq 2\sqrt{abc} \\
\iff (a + bc)^2 \geq 4abc \\
\iff a^2 + 2abc + (bc)^2 \geq 4abc \\
\iff a^2 - 2abc + (bc)^2 \geq 0 \\
\iff (a - bc)^2 \geq 0
$
olur. İşlemlerin sırasını ters çevirebiliriz. $(a - bc)^2 \geq 0$ doğru olduğundan, $bc \geq b+c$ elde edilir. Ayrıca, eşitlik durumu yalnızca $a=bc$ iken geçerlidir.
-
Çözüm[Lokman GÖKÇE]: Tersten başlayalım:
$ \qquad \quad bc \geq b+c \\
\iff a + bc \geq a + b+c \\
\iff a + bc \geq 2\sqrt{abc} \\
\iff (a + bc)^2 \geq 4abc \\
\iff a^2 + 2abc + (bc)^2 \geq 4abc \\
\iff a^2 - 2abc + (bc)^2 \geq 0 \\
\iff (a - bc)^2 \geq 0
$
olur. İşlemlerin sırasını ters çevirebiliriz. $(a - bc)^2 \geq 0$ doğru olduğundan, $bc \geq b+c$ elde edilir. Ayrıca, eşitlik durumu yalnızca $a=bc$ iken geçerlidir.
Elinize sağlık hocam.
Üçüncü satırdaki $a+bc\ge2\sqrt{abc}$ eşitsizliğinin doğruluğuna $(\sqrt a - \sqrt{bc})^2 \ge 0$ olduğunu kullanarak da ulaşabilirdik. Veya aynı manaya gelen A.G.O eşitsizliğini de zikredebilirdik.
-
Tebrikler Eray. Official çözüm kağıdını inceleme şansım oldu. Kağıtta verilen çözümlerden biri de sizin dediğiniz şekilde yapılıyordu.