Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2009 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 07, 2022, 02:31:41 ös
-
$[1,\infty)$ aralığından alınmış kaç tane $x$ için
$\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}< \sqrt{x+1}-1$
eşitsizliği sağlanmaz?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$
-
Cevap: $\boxed{B}$
Verilen eşitliği sağlamayan $x$'leri bulmak için $$\sqrt{1-\frac{1}{x}}\geq \sqrt{x+1}-1$$ olan $x$'leri bulmalıyız. $x\geq 1$ olduğunu göz önünde bulundurursak, $\sqrt{x+1}>1$'dir ve $$\sqrt{1-\frac{1}{x}}\geq \sqrt{x+1}-1\iff 1-\frac{1}{x}\geq x+2-2\sqrt{x+1}$$ $$\iff 2\sqrt{x+1}\geq x+\frac{1}{x}+1\iff 4(x+1)\geq x^2+\frac{1}{x^2}+1+2x+\frac{2}{x}+2$$ $$\iff 0\geq x^2+\frac{1}{x^2}-2x+\frac{2}{x}-1\iff 0\geq x^4-2x^3-x^2+2x+1=(x^2-x-1)^2$$ olur. Dolayısıyla verilen eşitliği sağlamayan tek $x$ değerleri $x^2-x-1$'in kökleridir. Bu köklerden sadece $1$ tanesi $1$'den büyük olduğundan (diskriminant ile kontrol edilebilir) istenilen eşitsizliği sağlamayan tek bir $x$ değeri vardır.