Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2009 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 07, 2022, 02:25:10 ös
-
$a<b<c$ sayıları için $a+b=2c$ olursa $(a,b,c)$ üçlüsüne "aritmetik üçlü" diyelim. $A=\{1,2,3,...,n\}$ kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilen tüm aritmetik üçlüler sayısının $99$'dan büyük olması için $n$ tek sayısı en az kaç olmalıdır?
$\textbf{a)}\ 21 \qquad\textbf{b)}\ 17 \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 23$
-
Cevap: $\boxed{A}$
$n=2k+1$ yazalım. Aritmetik üçlülerini sayalım. En büyük ve en küçük terim aynı paritede olmalıdır. Aynı paritede farklı iki sayı $(a,c)$ seçersek, $\frac{a+c}{2}$ sayısı, $a$ ile $c$ arasında istenilen şartlara uygun bir tamsayı olacağından bu şekildeki ikilileri saymalıyız.
En küçük terim $a$ (tek sayı) ise en büyük terim $a+2,a+4,\dots, 2k+1$ sayılarından biri olmalıdır, yani $\frac{2k+1-a}{2}$ tane seçenek vardır.
En küçük terim $a$ (çift sayı) ise en büyük terim $a+2,a+4,\dots, 2k$ sayılarından biri olmalıdır, yani $\frac{2k-a}{2}$ tane seçenek vardır.
$a=1,3,\dots,2k-1$ ve $a=2,4,\dots,2k-2$ terimleri için toplam aritmetik üçlü sayısı $$\sum_{i=1}^{k}\frac{(2k+1)-(2i-1)}{2}+\sum_{j=1}^{k-1}\frac{2k-2j}{2}$$ $$=\sum_{i=1}^{k}(k+1-i)+\sum_{j=1}^{k-1}(k-j).$$ Eğer $i\mapsto k+1-i$ ve $j\mapsto k-j$ dönüşümü yaparsak, yukarıdaki toplam $$=\sum_{i=1}^{k}i+\sum_{j=1}^{k-1}j=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k-1)k}{2}=k^2$$ olacaktır. $k^2>99$ olmasını sağlayan en küçük $k$ değeri $10$'dur. En küçük $n$ tek sayısı $n=2k+1=21$'dir.