Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2009 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 07, 2022, 02:20:45 ös
-
$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ fonksiyonu her $x,y \in \mathbb{Z}$ için
$f(f(x)+y)-f(y+7)=x$
eşitliğini ve $f(2)=5$ koşulunu sağlasın. Bu durumda$,\ f(11)$ aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ -4 \qquad\textbf{b)}\ -3 \qquad\textbf{c)}\ -2 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ 7$
-
Cevap: $\boxed{A}$
Test mantığı ile lineer bir fonksiyon denenirse $f(x)=7-x$'in sağladığı görülebilir. Yani $f(11)=-4$ elde edilir. Şimdi tam çözümü verelim.
Ana denklemde $x=2$ yazarsak, $$f(y+5)-f(y+7)=2\implies f(z+2)-f(z)=-2$$ olacaktır. Eğer $z$'yi önce çift, sonra tek seçersek, $f$'in tek ve çift sayılarda lineer olduğunu, hatta $-x+a$ formatında olduğunu görebiliriz. Şimdilik tekler ve çiftler için aynı $a$ olup olmadığını bilmiyoruz. Yani $a_1,a_2$ sabit sayıları için $$f(x)=\begin{cases} a_1-x&\text{eğer }x\equiv 0\pmod{2},\\ a_2-x&\text{eğer }x\equiv 1\pmod{2}.\end{cases}$$ olacaktır. $f(2)=5$ olduğundan $a_1=7$'dir. Ayrıca fonksiyon örten olmalıdır. Çünkü her $z\in\mathbb{Z}$ için $x=z-f(7)$ seçersek, $$f(f(x))=x+f(7)=z$$ olacaktır yani $f(f(z-f(7)))\mapsto z$'dir. Bu fonksiyon çift sayıları tek sayılara gönderdiğinden, çift sayı çıktısı veren tüm sayılar tek olmalıdır. Yani $a_2$ de tektir. Ana eşitliğe dönelim. $x=1$ ve $y=0$ seçersek, $f(f(1))=1+f(7)$ olduğundan, $$f(f(1))=f(a_2-1)=7-(a_2-1)=8-a_2,$$ $$1+f(7)=a_2-6,$$ yani $a_2-6=8-a_2$ elde edilir. Buradan $a_2=7$, yani $f(x)=7-x$ bulunur. Sonuç olarak $f(11)=-4$'dür.