Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 1997 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Eylül 29, 2022, 12:57:41 ös
-
$n$ nin kaç değişik tam sayı değeri için $\dfrac{n^2}{n+4}$ tam sayı olur?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 12$
-
Yanıt: $\boxed D$
$\dfrac{n^2}{n+4} = \dfrac{n^2-16}{n+4} + \dfrac{16}{n+4} = n-4 +\dfrac{16}{n+4}$
ifadesinin tam sayı olabilmesi için $n+4$ ün $16$ yı tam bölmesi gerekir. $16 = 2^4$ ve $16$ nın pozitif bölenleri sayısı $5$, dolayısıyla tam bölenlerinin sayısı $10$ olacaktır. $16$ nın herhangi bir böleni $d$ olsun. $n+4 = d \Longrightarrow n = d -4$ sayıları aradığımız sayılardır. Bu sayıların sayısı da $d$ lerin sayısı kadardır.
-
$n+4 = m$ olsun. $n$ tam sayı ise $m$ de tam sayıdır.
$\dfrac{n^2}{n+4} = \dfrac {(m-4)^2}m = \dfrac{m^2-8m+16}m = m - 8 + \dfrac {16}m$ ifadesini tam sayı yapan $m$ lerin sayısı $16$ sayısının tam bölenlerinin sayısı kadardır, yani $10$ dur.