Sorunun Oluşum Aşamaları: Bu kısımdan bahsedersek fikir verici olur. Düzgün çokgenlerdeki birbirine eş olmayan üçgenlerin sayısını veren kod yazımı ile ilgili sorduğum buradaki (https://matkafasi.com/138094/duzgun-cokgendeki-olmayan-ucgenlerin-sayisini-veren-program) problemde üretilen ilk fikirlerden biri, üçgenlerin alanlarını karşılaştırma yöntemi idi. Fakat bu yöntemin bir riski var: üçgenler eş olmadığı halde alanları eşit olabilirdi. Aşağıdaki şekilde düzgün $12$-gendeki oluşabilecek $12$ üçgeni görüyoruz. Bunlardan $4.$ ve $6.$ üçgenler eş olmamakla beraber alanları eşit oluyor.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7851.0;attach=16072;image)
Dolayısıyla, yeni bir soru olarak eşit alanlı üçgen bulma fikri oluştu. $n=12$ için bir çözüm olduğunu biliyoruz. Daha başka değerlerde de çözüm çıkması için $n<6$ durumunda "çokgenin etrafında dolaşma" durumunu oluşturacak biçimde biraz daha hikaye yazmak gerekiyordu. Aslında çokgenin kenar uzunluğunun $1$ birim olması çok önemli değildir, yürüme hamlelerini daha iyi biçimde açıklamak içindir. Şimdi çözüme geçelim.
Yanıt: $\boxed{15}$
Çözüm: $n=3$ durumunda $ABC$ eşkenar üçgenini çizersek $ABF$ ve $ACE$ eşkenar üçgen olduğu için istenen sağlanır. $n=4$ veya $n=5$ durumlarında bir alan eşitliği oluşmadığını görmek kolaydır.
$n\geq 6$ olsun. Artık "çokgenin etrafında dolaşma" durumunu oluşmayacaktır. Düzgün çokgeni $ABCDEF\dots $ ile gösterelim. Yarıçapı $R$ olan çevrel çemberi çizerek her bir kenarı gören çevre açıyı $\alpha$ ile gösterelim. $0 < \alpha \leq 30^\circ$ dir. Elbette $m(\stackrel{\frown}{AB}) = 2\alpha$ olduğundan düzgün çokgenin bir dış açı ölçüsü $\theta = 2\alpha$ dır. $m(\widehat{AFB})=\alpha$, $m(\widehat{FAB}) = 4\alpha$ olur. Üçgenin alanının, kenarlar çarpımının çevrel çemberin yarıçapının $4$ katına bölümüne eşit olduğunu bilgisini ve sinüs teoremini kullanarak; $Alan(ABF) = 2R^2 \sin(\alpha)\sin(4\alpha)\sin(5\alpha) $ yazabiliriz. Benzer şekilde $Alan(ACE) = 2R^2 \sin(2\alpha)\sin(2\alpha)\sin(4\alpha) $ olur. $Alan(ABF) = Alan(ACE)$ verildiğinden,
$$ \sin(\alpha)\sin(4\alpha)\sin(5\alpha) = \sin(2\alpha)\sin(2\alpha)\sin(4\alpha) $$
yazılır. $0 < \alpha \leq 30^\circ$ olduğundan $\sin(4\alpha) >0 $ olur. Denklemi $\sin(4\alpha) $ ile sadeleştirerek
$$ \sin(\alpha)\sin(5\alpha) = \sin(2\alpha)\sin(2\alpha)$$
yazabiliriz. $\sin(x)\sin(y) = \dfrac{1}{2}(\cos(a-b) - \cos(a+b))$ olduğundan
$$ \begin{split} \cos(4\alpha) - \cos(6\alpha) &= \cos 0 - \cos (4\alpha) \\
\implies \cos(2\theta) - \cos(3\theta) &= 1 - \cos (2\theta)
\end{split}
$$
olur. $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ ve $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ özdeşlikleri kullanılır ve $x= \cos(\theta)$ denirse
$$ 4x^3 - 4x^2 -3x + 3 = 0$$
denklemi elde edilir. $0<x<1$ aralığında bu denklemi çözelim. $4x^2(x-1) - 3(x-1)=0 \implies (x-1)(4x^2 - 3) =0$ olup $x=\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ bulunur. $\theta = 30^\circ$ olup çokgenin kenar sayısı $n=\dfrac{360}{30}= 12$ dir.
Böylece $n$ nin alabileceği değerler toplamı $3+12=\boxed{15}$ elde edilir.