Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2007 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ağustos 08, 2022, 08:57:33 ös
-
$a_1,a_2,...,a_{50}$ farklı pozitif sayılar olsun. $i \neq j$ olmak üzere$,$ en az kaç tane farklı $a_i+a_j$ toplamı elde edilebilir?
$\textbf{a)}\ 95 \qquad\textbf{b)}\ 97 \qquad\textbf{c)}\ 99 \qquad\textbf{d)}\ 101 \qquad\textbf{e)}\ 105$
-
Cevap: $\boxed B$
Genelliği kaybetmeden $a_1 < a_2 < \ldots < a_{50}$ kabul edelim. Bu durumda $a_i + a_j$ toplamında $i=1$ sabitleyerek $$a_1 + a_2 < a_1 + a_3 < \ldots < a_1 + a_{50}$$ ve bununla birlikte $j=50$ sabitleyerek $$a_1 + a_{50} < a_2 + a_{50} < \ldots < a_{49} + a_{50}$$ eşitsizlik zincirlerinin birleşiminden görülür ki $$a_1 + a_2 < a_1 + a_3 < \ldots < a_1 + a_{50} < a_2 + a_{50} < \ldots < a_{49} + a_{50}$$ şeklinde birbirinden farklı olduğu kesin olan $\boxed{97}$ adet $a_i + a_j$ toplamı daima mevcuttur.
Tüm $a_i + a_j$ toplamlarının bu $97$ tanesinden ibaret olmasının mümkün olduğunu da görelim:
$a_n = n$ durumunu göz önüne alırsak $a_i + a_j = i+j$ olacağından en düşük toplam $a_1 + a_2 = 3$ ve en yüksek toplam $a_{49} + a_{50} = 99$ olur. $[3,99]$ aralığındaki tam sayı sayısı da $97$ olduğundan, bu durumda farklı $a_i + a_j$ toplamlarının sayısı $97$'yi aşamaz.
Sonuç olarak, her hâlükarda en az $97$ farklı $a_i + a_j$ toplamı mevcut olacaktır. Bununla birlikte, tam $97$ farklı $a_i + a_j$ toplamının mevcut olmasını sağlayan bir örnek de elimizde mevcuttur. Dolayısıyla aradığımız cevap $\boxed{97}$ dir.