Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2006 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 23, 2022, 12:19:20 ös
-
$-2 \leq x \leq 3 \quad , \quad -1 \leq y \leq 1 \quad $ ve $-1 \leq z \leq 1$
olmak üzere$,$ tüm $(x,y,z)$ tam sayı üçlülerini göz önüne alalım. Bir $(x,y,z)$ üçlüsü için $x,y$ ve $z$ nin en büyüğü ile en küçüğünün toplamına bu üçlünün "gücü" diyelim. Örneğin$,\ (3,-1,0)$ 'ın gücü $3+(-1)=2$ dir.
Yukarıdaki gibi oluşturulan tüm üçlülerin "güçler" toplamı nedir?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 17 \qquad\textbf{d)}\ 23 \qquad\textbf{e)}\ 27$
-
Cevap: $\boxed{D}$
$x\neq -2,2,3$ ise $x,y,z\in [-1,1]$ olduğundan bir simetri elde ederiz. $(x,y,z)=(a,b,c)$ ile $(-a,-b,-c)$'nin güçlerinin toplamları $0$ olduğundan bu durumda elde edilen tüm üçlülerin güçleri toplamı $0$'dır ($(x,y,z)=(0,0,0)$ durumunda zaten güç $0$'dır).
$x=-2$ ise en küçük eleman $-2$'dir. $y$ ve $z$'nin alabileceği üçer değer olduğundan $9$ tane üçlü vardır ve bu üçlülerin en küçük elemanları toplamı $(-2)\cdot 9=-18$'dir. En büyük elemanları ise $\max\{y,z\}$'dir. Bir tane ikili için bu değer $-1$; üç ikili için $0$; beş ikili için ise $1$'dir. En büyük elemanların toplamı $(-1)\cdot 1+3\cdot 0+5\cdot 1=4$ olduğundan bu durumdan gelen güçlerin toplamı $-14$'dür.
$x=2$ veya $x=3$ ise en büyük eleman $x$'dir. Bu durumdaki üçlülerin en büyük elemanları toplamı $2\cdot 9+3\cdot 9=45$'dir. En küçük elemanlar da $y$ ve $z$'den gelir. En küçük elemanın $-1$ olduğu beş tane; $0$ olduğu üç; $1$ olduğu bir durum vardır. En küçük elemanların toplamı $2\cdot ((-1)\cdot 5+3\cdot 0+1\cdot 1)=-8$'dir (İki ile çarptık çünkü $x$'nin iki durumu vardır). Bu durumdaki güçlerin toplamı da $45-8=37$ bulunur.
Tüm güçlerin toplamı $37-14=23$'dür.