Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2006 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 21, 2022, 10:20:12 ös
-
$n$ pozitif tam sayısının kaç farklı değeri için$,$
$(n-210)$ ve $(n+210)$
sayılarının ikisi de bir tam karedir?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{En az 5}$
-
Cevap: $\boxed{D}$
$b\geq a\geq 0$ için $n-210=a^2$ ve $n+210=b^2$ olsun. $b^2-a^2=420$ elde edilir. Bu şartı sağlayan herhangi bir $(a,b)$ ikilisi için $n=a^2+210>0$ olduğundan her $(a,b)$ çifti için tam olarak bir tane $n$ pozitif tamsayısı vardır. $$b^2-a^2=(b-a)(b+a)=420=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$$ olacaktır. $b-a$ ve $b+a$'nın paritesi aynı olduğundan ikisi de çifttir, yani $2^2$ çarpanları otomatik olarak dağıtılmıştır. Bu yüzden $105=3\dot 5\cdot 7$'yi iki çarpan olarak dağıtmalıyız. $(1,105),(3,35),(5,21),(7,15)$ şeklinde dağılacağından $4$ tane çözüm vardır.