Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2005 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 11, 2022, 01:28:09 öö

Başlık: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18
Gönderen: matematikolimpiyati - Temmuz 11, 2022, 01:28:09 öö

$x,y \in \mathbb R$ olmak üzere$,$

$(x-2)(y+2)=(x+y)^2$

eşitliğini sağlayan $(x,y)$ ikililerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Başlık: Ynt: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18
Gönderen: Metin Can Aydemir - Eylül 11, 2024, 07:35:06 öö

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen denklikteki ifadeleri açarsak, $$xy-2y+2x-4=x^2+y^2+2xy\implies x^2+y^2+xy+2y-2x+4=0$$ $$\implies 2x^2+2y^2+2xy+4y-4x+8=(x+y)^2+(x-2)^2+(y+2)^2=0$$ elde edilir. Buradan da sadece $(x,y)=(2,-2)$ çözümü bulunur.