Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2005 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 11, 2022, 12:42:51 öö

Başlık: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13
Gönderen: matematikolimpiyati - Temmuz 11, 2022, 12:42:51 öö

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7738.0;attach=15961)

Şekilde$,\ |AB|=4\ br,\ |BC|=3\ br,\ |BD|=6\ br,\ m(\widehat{ABD})=m(\widehat{BCD})$ ve $m(\widehat{ADC})=m(\widehat{BAD})$ ise $|DC|$ kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 5,2  \qquad\textbf{c)}\ 5,4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 6,2$

Başlık: Ynt: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13
Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Temmuz 20, 2023, 12:41:23 öö

Cevabımız D' dir.


Öncelikle AB ve DC doğrularını uzatıp kesiştikleri noktaya E diyelim. Ardından m(DBE)=m(BCE) dir ve (BED) açısının ortaklığı bizi,
     
          ECB ve EBD üçgenlerinin benzerliğine götürür. Öncesinde |EB|= x diyelim ve AED üçgenin ikizkenar olması sonucu |ED|= x+4 olur

Buna göre :

       |EC|/|EB| = |EB|/|ED| = |CB|/|BD|
       |EC|/x = x/(x+4) = 3/6 = 1/2 dir.   
     
    x/(x+4)= 1/2 ise x=|EB|=4 tür. x=4 ise |EC|=2 dir.

|EB|=4 , |ED| =4+4=8  ve |EC|=2 ise ,

       |CD|=8-2=6 bulunur.
                   Cevap 6'dır.

Başlık: Ynt: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13
Gönderen: geo - Eylül 11, 2024, 06:31:09 öö

$CB$ ile $AD$, $F$ de keşissin.
$\angle CFD = \angle BDA$ olduğu için $BF=BD=6$.
$(AA)$ dan $\triangle CFD \sim BDA$.
$\dfrac{CF}{BD}=\dfrac{DC}{AB}\Longrightarrow DC =\dfrac{AB\cdot CF}{BD}=\dfrac{4\cdot 9}{6} = 6$.

Not: Alternatif olarak $AD$ de sorulabilirmiş.
Meraklısı için: $AD=\sqrt{\dfrac{(BD^2-AB^2)BD}{BC}}$

Başlık: Ynt: 2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13
Gönderen: Seyit Çetin - Eylül 15, 2024, 12:02:17 öö

çözüm-3