Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2004 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 05, 2022, 05:59:09 ös
-
$n,$ pozitif bir tam sayı ve $p,$ tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olduğuna göre$,$
$p^2=\dfrac{(2n)!}{2000}$
eşitliğini sağlayan kaç tane pozitif $p$ sayısı vardır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$
-
Cevap: $\boxed{B}$
$n=1$ için $p=\frac{1}{10\sqrt{10}}$ olduğundan istenilen sağlanmaz. $n\geq 2$'dir.
Bertrand postulatı, her $n\geq 2$ tamsayısı için $n<q<2n$ olan bir $q$ asalı olduğunu söyler. Dolayısıyla, $n\geq 2$ için bu asal sayıyı seçersek, $q\mid (2n)!$ fakat $q^2\mid (2n)!$ olacaktır. Yani $p^2=\frac{(2n)!}{2000}$ olması için bu $q$ asalının $2000$ ile sadeleşmesi gerekir. Dolayısıyla $q=2$ veya $q=5$ olabilir. $n=2$ için $q=3$ çelişki çıkartır, $n\geq 4$ içinse $q\geq 7$ seçilebileceğinden dolayı çelişki elde ederiz. Sadece $n=3$'ü denemeliyiz. $n=3$ için $$p^2=\frac{6!}{2000}=\left(\frac{3}{5}\right)^2$$ olduğundan sadece $1$ tane $p$ vardır.
Alternatif Çözüm: $p$ tamsayı olmadığından $2000\nmid (2n)!$ olacaktır. $2000=2^4\cdot 5^3$ olduğundan $2n\geq 15$ olursa, $\frac{(2n)!}{2000}$ tamsayı olacaktır. Dolayısıyla, $2n<15$, yani $n\leq 7$ olmalıdır. $n=1,2,3$ değerleri basitçe denenebilir ve sadece $n=3$ için $p$'nin rasyonel olduğu bulunur. $n=4,5,6$ için $(2n)!$ içindeki $7$ asalının kuvvetinin $1$ olması $p$'nin rasyonel olmasıyla çelişir. $n=7$ içinse $(2n)!$ içindeki $13$ asalının kuvvetinin tek olması rasyonelliği bozar. Dolayısıyla, sadece $n=3$ olabilir, tek çözüm vardır.
İlk çözüm $p$'nin tamsayı olmamasını kullanmadığından daha genel bir çözümdür.