Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1997 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 04, 2022, 01:52:06 ös
-
İçlerinde siyah ve beyaz toplar olan iki torbada toplam $25$ top var. Her torbadan rasgele birer top alındığında her ikisinin de beyaz olma olasılığı $0,54$ ise her ikisinin de siyah olma olasılığı nedir?
$\textbf{a)}\ 0,46 \qquad\textbf{b)}\ 0,04 \qquad\textbf{c)}\ 0,16 \qquad\textbf{d)}\ \text{Verilenler bu olasılığı belirlemek için yeterli değil.} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Cevap: $\boxed{B}$
İlk torbada $x$ adet, ikinci torbada $25-x$ adet top olsun. Beyaz top sayısı ise birinci ve ikinci torbada sırasıyla $y$ ve $z$ olsun. Beyaz top olasılığı $0$ olmadığından $y,z\neq 0$'dır. Ayrıca $1\leq y\leq x$ ve $1\leq z\leq 25-x$ olmalıdır. Genelliği bozmadan ilk torbada daha fazla top olsun diyebiliriz. Yani $1\leq x\leq 12$'dir. Verilen olasılık, $$\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{z}{25-x}=0.54=\dfrac{27}{50}$$ Dolayısıyla, öyle bir $k\in \mathbb{Z}^+$ vardır ki $$yz=27k$$ $$x(25-x)=50k$$ İkinci denklemden $5\mid x$ olması gerektiği görülebilir. Yani $x=5$ veya $x=10$ olabilir.
i) Eğer $x=5$ ise $x(25-x)=50k$'dan $k=2$ bulunur. $1\leq y\leq 5$ ve $1\leq z\leq 20$ olur. Ayrıca $k=2$ olduğundan $yz=54$ olacaktır. $y$ ve $z$'nin aralıklarından $yz=54$ olmasını sağlayan tek sayı çifti $(y,z)=(3,18)$'dir. Çekilen iki topun da siyah olma olasılığı $$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{20}=0.04$$ bulunur.
ii) Eğer $x=10$ ise $k=3$ bulunur. $1\leq y\leq 10$ ve $1\leq z\leq 15$ ve $yz=81$ olacaktır. Bu şartları sağlayan tek $(y,z)$ çifti $(9,9)$'dur. Olasılığı tekrar hesaplarsak $$\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{6}{15}=0.04$$ elde edilir. Tüm durumlarda $0.04$ bulunduğundan aradığımız olasılık $0.04$'dür.
Not: Bu soru benim gözümde çok iyi hazırlanmış bir sorudur. Ortaokulda ve lisedeyken bu sorudaki ince ayara hayran olmuş çok fazla matematik ve bilgisayar olimpiyatçısı öğrenciyle karşılaşmıştım. Hatta bilgisayar olimpiyatlarındaki matematik kısmını hiç sevmeyen bir bilgisayar olimpiyatçısı arkadaşım bu sorunun matematiğe olan ilgisini çok fazla arttırdığını söylemişti.