Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1997 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 04, 2022, 03:06:05 öö
-
$x,y,z$ gerçek sayılar olmak üzere$,\ x^3-y=24,\ y^3-z=24,\ z^3-x=24$ denklem sisteminin kaç çözümü vardır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Yanıt: $\boxed {E}$
$$x^3-y = 24 \tag {1}$$ $$y^3-z = 24 \tag {2}$$ $$z^3-x = 24 \tag {3}$$
$(1)$ den $(2)$ yi çıkaralım: $$x^3-y^3 = y-z \tag {4}$$
$(2)$ den $(3)$ ü çıkaralım: $$y^3-z^3 = x-z \tag {5}$$
$(3)$ ten $(1)$ i çıkaralım: $$z^3-x^3 = x-y \tag {6}$$
$(4)$ ten $x\geq y$ ise $y \geq z$ olmalı. $y\geq z$ bilgisini $(5)$ te kullanırsak $x \geq z$ olmalı. $x\geq z$ ise $(6)$ nın sağ tarafı $x-y\leq 0 \Longrightarrow x\leq y$ olmalı. Bu da $x=y$ olduğu anlamına gelir. Benzer durum $x \leq y$ de de elde edilir.
Simetriden dolayı $x=y=z$ olmalı.
$x^3-x = 24 \Rightarrow x^3 - x - 24 = 0 \Rightarrow (x-3)(x^2+3x+8) = 0\Rightarrow x = 3$ olduğu için sistemin tek çözümü $(x,y,z)=(3,3,3)$ tür.