Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Genç Balkan Matematik Olimpiyatı => 2022 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 02, 2022, 01:14:07 öö
-
$11ab \leq a^3-b^3 \leq 12ab$
koşullarını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.
-
$a>b$ olduğu açıktır. $k$ pozitif tamsayısı için $a=b+k$ yazalım. Bu durumda $$11(b^2+bk)\leq 3b^2k+3bk^2+k^3\leq 12(b^2+bk)\implies 0\leq (3k-11)b^2+(3k^2-11k)b+k^3\quad \text{ve}\quad (3k-12)b^2+(3k^2-12k)b+k^3\leq 0$$ elde edilir. Önce $k\geq 4$ durumunu inceleyelim. $$(3k-12)b^2+(3k^2-12k)b+k^3=(3k-12)\left(b^2+bk+\frac{k^2}{4}\right)+\frac{k^3}{4}+3k^2=3(k-4)\left(b+\frac{k}{2}\right)^2+\frac{k^3}{4}+3k^2\leq 0$$ çelişkisi elde edilir çünkü bariz bir şekilde ifade pozitiftir.
$k<4$ olmalıdır. $k=3$ ise $$0\leq -2b^2-6b+27\quad \text{ve}\quad -3b^2-9b+27\leq 0$$ elde edilir. İlk eşitsizliğin sağlanabilmesi için $b=1,2$ olmalıdır. $b=2$ için ikinci eşitsizlik de sağlanır. Buradan $\boxed{(a,b)=(5,2)}$ elde edilir.
$k=2$ ise $$0\leq -5b^2-10b+8\quad \text{ve}\quad -6b^2-12b+8\leq 0$$ elde edilir ancak ilk eşitsizlik hiçbir $b$ pozitif tamsayısı için sağlanmaz. Çözüm gelmez.
$k=1$ ise $$0\leq -8b^2-8b+1\quad \text{ve}\quad -9b^2-9b+1\leq 0$$ elde edilir benzer şekilde ilk eşitsizlik hiçbir $b$ pozitif tamsayısı için sağlanmaz. Çözüm gelmez.
Şartı sağlayan tek $(a,b)$ çifti $(5,2)$'dir.
-
$a>b$ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)>3ab(a-b)$ olacaktır. $12ab\geq a^3-b^3>3ab(a-b)$ olduğundan $4>a-b>0$, yani $a-b=1,2,3$ bulunur. Yerine koyularak, üstteki çözüme benzer şekilde eşitsizlikler çözülebilir.
-
Birazdan atacağın versiyonda orijinal sorudan farklı olarak eşitlik de bulunmaktadır.
-
Versiyon 1
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini
$$14ab\leq a^3-b^3\leq 15ab$$
bulunuz.
-
Genelleştirilmiş JBMO 2022 #1 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8788.0)
-
Versiyon 1'de eşitlik durumu $(a,b)=(8,4)$ için sağlanmaktadır.