Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2003 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Haziran 28, 2022, 02:25:07 ös
-
$a$ doğal sayısı $4$ ayrı asal sayının çarpımının karesi olsun. $k$ ve $n,$ $a$'nın $k \mid n$ koşulunu sağlayan pozitif bölenleri olmak üzere$,$ $(k,n)$ ikilileri kaç tanedir? ($1$ ve $a$ sayıları da $a$'nın bölenleridir$;$ $k \mid n$ gösterimi "$k,$ $n$'yi böler" anlamındadır.)
$\textbf{a)}\ 3^6 \qquad\textbf{b)}\ 4^5 \qquad\textbf{c)}\ 5^4 \qquad\textbf{d)}\ 4^6 \qquad\textbf{e)}\ 6^4$
-
Cevap: $\boxed{E}$
$f(m)=\#\{(k,n): k,n\geq 1, k\mid n, n\mid m\}$ olarak tanımlayalım. $$f(m)=\sum_{n\mid m}\sum_{k\mid n}1=\sum_{n\mid m}d(n)$$ olacaktır. Burada $d$ fonksiyonu pozitif bölenlerin sayısıdır. Ayrıca, $g$ çarpımsal bir fonksiyonsa, yani $(m,n)=1$ olan her pozitif tamsayı için $g(mn)=g(m)g(n)$ ise, $$G(n)=\sum_{d\mid n}g(d)$$ fonksiyonu da çarpımsaldır. $d$ fonksiyonu da çarpımsal olduğundan, $f(m)$ de çarpımsaldır. $p$ bir asal sayı ve $t$ pozitif tamsayı olmak üzere $$f(p^t)=\sum_{n\mid p^t}d(n)=\sum_{s=0}^{t}d(p^s)=\sum_{s=0}^{t}(s+1)=\frac{(t+1)(t+2)}{2}$$ olduğundan $m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ için $$f(m)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\cdots f(p_k^{a_k})=\prod_{i=1}^{k}\frac{(a_i+1)(a_i+2)}{2}$$ olacaktır. $a$ sayısı $p^2q^2r^2s^2$ formatında olduğundan $a_1=a_2=a_3=a_4=2$'dir. Dolayısıyla, $$f(a)=\left(\frac{3\cdot 4}{2}\right)^4=6^4$$ olacaktır.