Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Haziran 18, 2022, 08:14:12 ös
-
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $D \in [AC]$ ve $E \in [AB]$ olmak üzere $[BD]$ ve $[CE]$ açıortaylardır. $D$ den $BC$ ve $BA$ ya indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $P$ ve $Q,$ $E$ den $CA$ ve $CB$ ye indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $AP$ ile $CQ$ nun kesişimi $X,$ $AS$ ile $BR$ nin kesişimi $Y,$ $BX$ ile $CY$ nin kesişimi $Z$ olmak üzere $AZ \perp BC$ olduğunu gösteriniz.
-
Eğer $AP \cap CQ \in BD$ olursa $BX$ yükseklik olur. Simetrik şekilde $CY$ de yükseklik olur. Ve bu iki doğru diklik merkezinde kesişeceğinden $AZ \perp BC$ olur. İspat biter. İlk durumu ispatlayalım. Bunu ispatlamak için seva teoreminin tersini kullanalım. ${\frac{|AQ|}{|QB|}}\cdot{\frac{|BP|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1$ ise ispat biter. $\triangle {BQT} \cong \triangle {BPT}$ olduğundan $|BQ| = |BP|$ ve $|QT| = |PT|$ dir. İlk eşitlikten dolayı seva ifademiz olan ${\frac{|AQ|}{|QB|}}\cdot{\frac{|BP|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1,{\frac{|AQ|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1$'e dönüşür. $\triangle {AQT}\sim\triangle {ADB}$ olduğundan $\frac{|AQ|}{|AD|} = \frac{|QT|}{|BD|}$ dir. $\triangle {CPT}\sim\triangle {CDB}$ olduğundan $\frac{|TP|}{|BD|} = \frac{|PC|}{|DC|}$dir. Demin dediğimiz gibi $|QT| = |PT|$ olduğundan $\frac{|AQ|}{|AD|} = \frac{|PC|}{|DC|}$ olur. ispat biter.