Çözüm:
a)
Eş çemberlerin yarıçaplarına $R$ diyelim ve $AB$ doğrusunun $A$ merkezli çemberi $B$'den farklı kestiği nokta $H$ olsun.
$|FA|=|AB|=|BD|=R$ ve $DE // AB$ olduğundan $|FD|=R$ olur ve böylece $ABDF$'nin bir eşkenar dörtgen olduğunu söyleyebiliriz.
$\implies m(\widehat{DBA})=m(\widehat{FAH}) \implies \triangle{DBA} \cong \triangle{FAH} \implies |AD|=|HF|$
Aynı zamanda $A$ merkezli çemberde çapı gördüğü için $\angle{HFB}$ dik açıdır.
$HFB$ dik üçgeninde pisagordan $HF^2+BF^2=AD^2+BF^2=4R^2$ elde ederiz. Böylece istenen toplamın $D$ noktasının seçiminden bağımsız olduğu sonucuna ulaşırız.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7566.0;attach=16339)
b)
$m(\overset{\Huge\frown}{AD}) = m(\overset{\Huge\frown}{DC}) \implies m(\widehat{ABD})=m(\widehat{BDG})=30^{\circ}$ olur ve $BDG$ üçgeni $30^{\circ} - 30^{\circ} - 120^{\circ}$ açılarına sahip olup $|DG|=R\sqrt3$'tür.
$\dfrac{|FG|}{|AB|}=\dfrac{R+R\sqrt3}{R}=1+\sqrt3$ elde edilir.