Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2022 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 24, 2022, 02:43:16 ös
-
Rakamları toplamı $9$ olan pozitif tam sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan $2022.$ sayının birler basamağı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Öncelikle en fazla $n$ basamaklı olan ve rakamları toplamı $9$ olan kaç sayı olduğuna bakalım. $x_1x_2\dots x_n$ bu şartı sağlayan bir sayıysa $x_1+x_2+\cdots +x_n=9$ olacaktır. Burada değişkenlere $x_i\geq 0$ haricinde bir koşul koymaya gerek yoktur çünkü değişkenler $9$'u aşamaz. $x_1\neq 0$ gibi durumları da incelemeye gerek yoktur çünkü bu durumlar bize $n-1$ veya daha az basamaklı rakamları toplamı $9$ olan sayıları verir. Yani şartı sağlayan $\dbinom{n+9-1}{9-1}=\dbinom{n+8}{8}$ sayı vardır. $$2002=\dbinom{6+8}{8}<2022<\dbinom{7+8}{8}=5005$$ olduğundan biz $7$ basamaklı sayılardan başlayıp $2022.$ sayıya ulaşmalıyız. $$2003.\text{ sayı}\rightarrow 1000008$$ $$2004.\text{ sayı}\rightarrow 1000017$$ $$\vdots$$ $$2022.\text{ sayı}\rightarrow 1000224$$ olur. Yani $2022.$ sayının birler basamağı $4$'dür.