Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2022 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 24, 2022, 02:25:56 ös
-
$a_1<a_2< \cdots <a_{2022}$ pozitif tam sayılar olmak üzere,
$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{2}{a_2}+ \cdots +\dfrac{2022}{a_{2022}}$
şeklinde yazılabilen kaç pozitif tam sayı vardır?
$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 501 \qquad\textbf{c)}\ 812 \qquad\textbf{d)}\ 1011 \qquad\textbf{e)}\ 2022$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Öncelikle ifadenin alabileceği maksimum değeri bulalım. Bunun için $a_i$ sayılarını olabildiğince küçük seçmeliyiz. $(a_1,a_2,\dots,a_{2022})=(1,2,\dots,2022)$ için sonuç $2022$ çıkar. Dolayısıyla elde edilebilecek en büyük pozitif tamsayı $2022$'dir. Şimdi $2022$'den küçük her sayıyı elde edebileceğimizi gösterelim.
$0<a<2022$ bir tamsayı olsun. Biz öyle $a_i$'leri öyle seçelim ki $\dfrac{i}{a_i}$ kesri $1$ veya $\dfrac{1}{2}$ olsun. $k$ tanesi $1$ olsun dersek $2022-k$ tanesi $\dfrac{1}{2}$ olur. Bu durumda $$k+\dfrac{2022-k}{2}=a\implies k=2a-2022$$ olur. Yani $a\geq 1011$ ise böyle bir seçim yapabiliriz ve $a$ sayısını elde edebiliriz.
Eğer $0<a<1011$ ise $k$ tanesini $\dfrac{1}{2}$, $2022-k$ tanesini $\dfrac{1}{4}$ olarak seçelim. Bu durumda $$\dfrac{k}{2}+\dfrac{2022-k}{4}=a\implies k=4a-2022$$ elde edilir. Yani $a\geq \dfrac{1011}{2}$ ise bu şekilde bir seçim yapabiliriz.
Bu iki durumdan şöyle bir genel durum elde edebiliriz. Eğer $\dfrac{2022}{2^{n+1}}\leq a<\dfrac{2022}{2^n}$ ise $2^{n+1}a-2022$ adet $\dfrac{1}{2^n}$ seçip, $4044-2^{n+1}a$ adet $\dfrac{1}{2^{n+1}}$ seçersek $a$ sayısına ulaşabiliriz.
Yani $2022$'dn küçük veya eşit tüm pozitif tamsayılar bu formatta yazılabilir. Fakat ispatı bitirebilmek için her $0<a<2022$ için $\dfrac{2022}{2^{n+1}}\leq a<\dfrac{2022}{2^n}$ olacak şekilde bir $n$ negatif olmayan tamsayısı olduğunu ve yaptığımız kesir seçimlerini sağlayacak $a_i$ sayıları seçebilecek olduğumuzu göstermemiz gerekir. Bunların bariz olduğunu düşünüp üzerine burada uğraşmayacağım. Cevap $2022$'dir.