Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 1999 - Lise 3 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 23, 2022, 12:32:02 öö
-
$x$ ve $y$, iki basamaklı sayılar olup, $x<y$'dir. $x \cdot y$ çarpımı $2$ ile başlayan dört basamaklı bir sayıdır. Eğer bu $2$'yi silersek, geriye kalan üç basamaklı sayı $(x+y)$'ye eşit oluyor. Bu özelliğe sahip kaç tane $(x,y)$ ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{hiçbiri}$
-
Cevap: $\boxed{C}$
Öncelikle $2$ silindiğinde üç basamaklı bir sayı kaldığından $x\cdot y$'nin yüzler basamağı $0$ değildir. $x+y<200$ olduğundan da yüzler basamağı $1$ olmalıdır. Yani $xy=\overline{21ab}$ ve $x+y=\overline{1ab}$ formatındadır. Farkını alırsak, $$xy-x-y+1=(x-1)(y-1)=2001$$ elde edilir. $2001=3\cdot 23\cdot 29$ olduğundan $(x-1,y-1)=(29,69),(23,87)$, yani $(x,y)=(30,70),(24,88)$ olabilir. İkisi de istenilen şartı sağlar.
Not: Sorunun bu haliyle yüzler basamağının $1$ olması bir katkı sağlamamıştır. Ancak, $xy$; $1$ ile başlayan bir dört basamaklı sayı olsaydı gibi ufak bir değişiklikte elde edeceğimiz $(x,y)=(14,78)$ gibi bir çözümü elememiz gerekecektir.