Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 1999 - Lise 3 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 23, 2022, 12:07:20 öö
-
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7398.0;attach=15833)
$1 \times 19$ boyutlarında bir dikdörtgen, şekilde görüldüğü gibi, $19$ tane eşit kareye bölünmüş ve karelerin köşeleri işaretlenmiştir. Köşeleri, işaretlenmiş noktalarda bulunan kaç tane ikizkenar üçgen çizilebilir?
$\textbf{a)}\ 200 \qquad\textbf{b)}\ 216 \qquad\textbf{c)}\ 228 \qquad\textbf{d)}\ 244 \qquad\textbf{e)}\ 256$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Bu soru Lise 1-2'nin 15. sorusunun (https://geomania.org/forum/index.php?topic=7390.0) değer değiştirilmiş versiyonudur. Lokman hocanın o soruya yaptığı çözümü genelleştirelim. $1\times (2n+1)$ için çözeceğiz.
$1\times 1$ türündeki her bir kare için $4$ tane ikizkenar üçgen çizilebilir. $n$ birim kare için bu şekilde toplam $4(2n+1)=8n+4$ tane ikizkenar üçgen vardır. Ayrıca, tabanı dikdörtgenin uzun kenarı üzerinde olan ikizkenar üçgenler de vardır. Bu ikizkenar üçgenlerin taban uzunlukları $2, 4,\dots,2n$ birim uzunluğunda olabilir. Bu tabanların, dikdörtgenin alt uzun kenarı üzerinde olduğunu düşünürsek her birinden sırasıyla $2n, 2n-2,\dots, 4, 2$ tane vardır. Toplamda $n(n+1)$ eder. Üst uzun kenar için de benzer hesaplama ile $n(n+1)$ tane ikizkenar üçgen bulunur. Genel toplam$$ 8n+4 + n(n+1) + n(n+1) = 2n^2+10n+4$$ elde edilir. $n=9$ için $256$ ikizkenar üçgen bulunur.