Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 1999 - Lise 1-2 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 22, 2022, 03:13:20 öö
-
$\{1,2,3,...,1999\}$ kümesinin, eleman sayısı tek sayı olan kaç tane alt kümesi vardır?
$\textbf{a)}\ 2^{1999} \qquad\textbf{b)}\ 2^{1998} \qquad\textbf{c)}\ 2^{1998}-1 \qquad\textbf{d)}\ 2^{999} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Yanıt: $\boxed{B}$
$n$ elemanlı bir kümede,
çift sayıda eleman içeren alt küme sayısı $\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{2} + \cdots $ ve
tek sayıda eleman içeren alt küme sayısı $\dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{3} + \cdots $
olup $(1-1)^n = 0 $ ifadesinin binom açılımından dolayı $\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{2} + \cdots = \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{3} + \cdots $ elde edilir.
Tüm alt kümelerin sayısı ise $2^n$ olduğundan
$\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{2} + \cdots = \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{3} + \cdots = 2^{n-1}$ dir. Yani eleman sayısı tek sayı olan alt kümelerin sayısı ile eleman sayısı çift sayı olan alt kümelerin sayısı daima eşittir. Bu değer $2^{n-1}$ dir.
Özel olarak $n=1999$ elemanlı bir küme için eleman sayısı tek sayı olan $2^{1998}$ tane alt küme bulunur.