Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2000 - Lise 1 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 20, 2022, 02:28:41 öö

Başlık: 2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 10
Gönderen: matematikolimpiyati - Mayıs 20, 2022, 02:28:41 öö

$p^3+p^2+11p+2$ ifadesinin asal olmasını sağlayan kaç tane $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Başlık: Ynt: 2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 10
Gönderen: Metin Can Aydemir - Eylül 20, 2023, 12:39:00 öö

Cevap: $\boxed{A}$

Eğer $p=2$ ise ifade çift olur ve asal olmaz. $p=3$ ise $p^3+p^2+11p+2=71$ olur ve istenilen sağlanır. Eğer $p>3$ ise $p^2\equiv 1\pmod{3}$ olur ve $$p^3+p^2+11p+2\equiv p+1+11p+2\equiv 0\pmod{3}\implies p^3+p^2+11p+2=3$$ elde edilir ama bariz bir şekilde $p^3+p^2+11p+2>3$'dir. Sadece $p=3$ sağlar.