Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 1998 - Lise 1-2 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 18, 2022, 03:09:01 öö

Başlık: 1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 18
Gönderen: matematikolimpiyati - Mayıs 18, 2022, 03:09:01 öö

$a$ ve $b$ sayılarının toplamı $x^2+6x+1=0$ denkleminin köklerinin toplamına; $a$ ve $b$ nin çarpımı ise, $x^2+8x+7=0$ denkleminin köklerinin çarpımına eşittir. $a$ ve $b$ sayılarının en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -3+\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ -4+\sqrt{15}  \qquad\textbf{d)}\ 3+\sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 7$

Başlık: Ynt: 1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 18
Gönderen: matematikolimpiyati - Ağustos 06, 2023, 04:09:01 öö

Yanıt: $\boxed{A}$

Vieta formüllerinden $a+b=-6$ ve $ab=7$  yazabiliriz. Dolayısıyla $a$ ve $b$ sayıları $x^2+6x+7=0$ denkleminin kökleridir. Bu denklemin büyük kökünü bulmamız isteniyor.

$x^2+6x+7=0 \implies x^2+6x+9=2 \implies (x+3)^2=2 \implies x+3=\pm \sqrt2 \implies x=-3 \pm \sqrt2$ olduğundan denklemin büyük kökü $-3+\sqrt2$'dir.