Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 1998 - Lise 1-2 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 16, 2022, 12:36:51 ös

Başlık: 1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 13
Gönderen: matematikolimpiyati - Mayıs 16, 2022, 12:36:51 ös

$101 \cdot 102 \cdot 103 \cdot \ ...\ \cdot 300=7^k \cdot n,\ (k,n \in \mathbb N)$ eşitliğini sağlayan en büyük $k$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 26  \qquad\textbf{b)}\ 29  \qquad\textbf{c)}\ 30  \qquad\textbf{d)}\ 31  \qquad\textbf{e)}\ 32$

Başlık: Ynt: 1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 13
Gönderen: Metin Can Aydemir - Eylül 17, 2023, 12:57:04 ös

Cevap: $\boxed{E}$

Verilen ifadeyi $\frac{300!}{100!}$ olarak yazalım. $300!$ içerisinde $$\left\lfloor \frac{300}{7}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{300}{7^2}\right\rfloor+\cdots=42+6+0+0+\cdots=48$$ tane $7$ çarpanı vardır. $100!$ içerisinde ise $$\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{7^2}\right\rfloor+\cdots=14+2+0+0+\cdots=16$$ tane $7$ çarpanı vardır. Dolayısıyla verilen sayıda tam olarak $48-16=32$ tane $7$ çarpanı vardır, $k$ en fazla $32$ olabilir.