Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 1997 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 16, 2022, 01:46:56 öö

Başlık: 1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18
Gönderen: matematikolimpiyati - Mayıs 16, 2022, 01:46:56 öö

$A=1-x+2x^2-3x^3+...-19x^{19}+20x^{20}$ ve $B=1+x+2x^2+3x^3+...+19x^{19}+20x^{20}$ veriliyor. $A \cdot B$ ifadesinden, parantezler açıldıktan sonra elde edilen polinomda $x^{19}$ ' un önündeki katsayı ne olur?

$\textbf{a)}\ 19  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ -1+2-3+...+18-19  \qquad\textbf{e)}\ -19!$

Başlık: Ynt: 1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18
Gönderen: Metin Can Aydemir - Mart 01, 2023, 03:36:37 ös

Cevap: $\boxed{C}$

$f(x)=1+x+2x^2+\cdots+19x^{19}+20x^{20}$ diyelim. Bu durumda $A=f(-x)$ ve $B=f(x)$ olacaktır. $Q(x)=AB=f(x)f(-x)$ fonksiyonuna bakalım. $Q(-x)=f(-x)f(x)=Q(x)$ olduğundan $Q$ polinomu çift fonksiyondur. Buradan $x^{19}$'un katsayısı $0$ bulunur.