Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 1997 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 14, 2022, 08:35:51 ös
-
$10$ tane farklı nesne ve bundan başka $10$ tane de birbirinin aynısı olan nesne verilmiştir. Bu $20$ nesneden kaç değişik biçimde $10$ nesne seçmek mümkündür?
$\textbf{a)}\ \dbinom{20}{10} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{20!}{10!} \qquad\textbf{c)}\ 10! \qquad\textbf{d)}\ \dbinom{20}{10} 2^{10} \qquad\textbf{e)}\ 2^{10}$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Birinci Yol: $11$ çeşit eşya vardır. $10$ tane aynı olan eşyadan $k$ tane seçildiği durumda diğer $10$ farklı eşyadan $10-k$ tane eşya $\dbinom{10}{10-k}$ farklı şekilde seçilecektir. $k=0,1,2,\dots,10$ olabileceğinden dolayı tüm durum $$\sum_{k=0}^{10}\dbinom{10}{10-k}=\sum_{k=0}^{10}\dbinom{10}{k}=(1+1)^{10}=2^{10}$$ olacaktır.
İkinci Yol: $10$ farklı eşyadan herhangi bir sayıda toplam $2^{10}$ eşya seçilebilir ($10$ elemanlı bir kümenin altkümelerinin sayısı). Her seçilen eşyaları $10$ taneye aynı olan eşyalarla tamamlayabiliriz. Her seçim ile bu yöntem arasında birebir örten bir bağıntı kurulabileceğinden toplam $2^{10}$ seçim yapılabilir.