Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 11, 2022, 03:18:56 öö
-
$\dfrac{3n^2}{m}$ ve $\sqrt{n^2+m}$
sayılarının her ikisinin tam sayı olmasını sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.
-
$\sqrt{n^2+m}>n$ olduğundan $a\geq 1$ tamsayısı için $\sqrt{n^2+m}=n+a$ diyelim. Buradan $$m=a^2+2an$$ elde edilir. $(a,n)=d$ dersek, $(u,v)=1$ ve $a=ud$ ve $n=vd$ olacak şekilde $u$ ve $v$ pozitif tamsayıları vardır. $\frac{3n^2}{m}$'nin tamsayı olmasını kullanırsak, $$\frac{3n^2}{m}\in\mathbb{Z}\implies \frac{3v^2}{u^2+2uv}\in\mathbb{Z}\implies u\mid 3v^2\implies u\mid 3$$ olacağından $u=1$ veya $u=3$ elde edilir.
$i)$ $u=3$ ise $$\frac{3v^2}{9+6v}=\frac{v^2}{2v+3}\in\mathbb{Z}\implies \frac{2v^2}{2v+3}\in\mathbb{Z}$$ $$v-\frac{3v}{2v+3}\in\mathbb{Z}\implies \frac{6v}{2v+3}\in\mathbb{Z}\implies 3-\frac{9}{2v+3}\in\mathbb{Z}$$ $$\implies \frac{9}{2v+3}\in\mathbb{Z}$$ elde edilir. $u=3$ olduğundan $(v,3)=(2v+3,3)=1$ olmalıdır. $2v+3\geq 5$ olduğundan çözüm bulunmaz.
$ii)$ $u=1$ ise $$\frac{3v^2}{2v+1}\in\mathbb{Z}\implies \frac{6v^2}{2v+1}\in\mathbb{Z}\implies 3v-\frac{3v}{2v+1}\in\mathbb{Z}$$ $$\implies \frac{3v}{2v+1}\in\mathbb{Z}\implies \frac{6v}{2v+1}\in\mathbb{Z}\implies 3-\frac{3}{2v+1}\in\mathbb{Z}\implies \frac{3}{2v+1}\in\mathbb{Z}$$ elde edilir. $2v+1\geq 3$ olduğundan sadece $v=1$ çözümü bulunur. Bu durumda $n=a$ elde edileceğinden, $m=a^2+2an=3n^2$ elde edilir. Tüm çözümler $k\geq 1$ için $\boxed{(m,n)=(3k^2,k)}$ bulunur.