Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 08, 2022, 11:55:59 ös
-
$10$ tablonun sergilendiği bir sergiye katılan $23$ öğrencinin her biri iki tablo beğeniyor. Herhangi iki öğrencinin ortak bir tablo beğendiği her durumda en az $k$ öğrenci tarafından beğenilmiş bir tablo bulunuyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?
$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 17$
-
Cevap: $\boxed{D}$
Herhangi iki öğrencinin ortak beğendiği bir tablo olsun. Herkesin beğendiği bir tablo varsa, o tablo otomatik olarak $23$ kişi tarafından beğenilmiş demektir. Böyle bir tablo olmadığı kabulüyle başlayalım. Herkes aynı iki tabloyu beğenmiş olamaz, bu yüzden $a,b,c$ farklı tablolar olacak şekilde $(a,b)$ ve $(a,c)$ tablolarını beğenen $2$ öğrenci olmalıdır. Herkes $a$ tablosunu beğenmiş olamayacağından, $a$'yı beğenmeyen herkes $(b,c)$ tablolarını beğenmiş olmalıdır. Eğer $a,b,c$ dışında beğenilen bir $d$ tablosu varsa, bu tabloyu beğenen kişi otomatik olarak $a$'yı da beğeneceğinden $(a,d)$ ikilisini beğenmiş olur. Ancak bu durumda da $a$'yı beğenmeyen kişi $b,c,d$'nin üçünü birden beğenmek zorunda kalır ki bu da imkânsızdır. Sonuç olarak ya herkesin beğendiği bir tablo vardır, ya da herhangi bir öğrencinin beğendiği tablo ikilisi $(a,b),(a,c),(b,c)$ ikililerinden biri olmak zorundadır. Bu ikilileri beğenenlerin sayısı sırasıyla $d_1,d_2,d_3$ olsun. Bu durumda $d_1+d_2+d_3=23$'dür ve $a,b,c$ tabloları sırasıyla $d_1+d_2,d_1+d_3,d_2+d_3$, veya denk olarak, $d_1+d_2,23-d_2,23-d_1$ kişi tarafından beğenilir. Bu sayıların toplamı $46$ olduğundan her durumda en az bir tanesi en az $\left\lceil \frac{46}{3}\right\rceil=16$ kişi tarafından beğenilir. Örnek durum olarak da $d_1=d_2=8$ ve $d_3=7$ verilebilir.