Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 08, 2022, 12:50:43 öö
-
$r$ yarıçaplı bir çemberin içine, her birinin yarıçapı $9$ olan ve herhangi ikisi kesişmeyen dört çember çizilebiliyorsa, $r$ nin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?
$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 19 \qquad\textbf{c)}\ 20 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 22$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Tam sayı olma koşulu olmadan olabilecek en küçük yarıçaplı çemberi çizelim. En optimal durum için yarıçapı $9$ olan çemberler birbirine merkezleri kare oluşturacak şekilde teğet olmalıdır. $r$ yarıçaplı çemberin merkezinden, ufak çemberlerden birinin dış teğetine çizilen uzunluk, yarıçap olduğundan $r$'dir. Ayrıca bu doğru parçası ufak çemberin merkezinden geçtiğinden ve büyük çemberin merkezi, küçüklerin merkezinin oluşturduğu karenin de merkezi olduğundan, $r=9+9\sqrt{2}$'dir (yarıçap + karenin köşesinin merkeze olan uzaklığı). En optimal durumda yarıçap $22>9+9\sqrt{2}>21$ olduğundan böyle bir çemberin yarıçapının alabileceği en küçük tam sayı değeri $22$'dir.