Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 08, 2022, 12:40:49 öö

Başlık: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 10
Gönderen: matematikolimpiyati - Mayıs 08, 2022, 12:40:49 öö

Hiçbir asal sayının karesine tam bölünmeyen ve tüm pozitif tam bölenlerinin toplamı $96$ olan kaç pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 10
Gönderen: ygzgndgn - Kasım 13, 2023, 11:15:32 ös

Cevap: $\boxed{D}$

İstenen sayı, $p_i$'ler farklı asal sayılar olmak üzere $n=p_1p_2p_3\dots p_k$ şeklinde olsun. Pozitif bölenlerin toplamı $$T=(1+p_1)(1+p_2)(1+p_3)\dots (1+p_k)=96=2^5\cdot 3$$ olmalıdır. Deneme yanılma yoluyla
$$96=(31+1)(2+1)
       =(7+1)(3+1)(2+1)
       =(7+1)(11+1)
       =(3+1)(23+1)$$ olduğu ve istenen şekildeki yazımların ancak bunlar olduğu bulunur. Buradan $n=62,42,77,69$ değerlerine ulaşılır.