Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 08, 2022, 12:38:43 öö

Başlık: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 09
Gönderen: matematikolimpiyati - Mayıs 08, 2022, 12:38:43 öö

$s(\widehat{BAC})=60^{\circ}$, $|AB|=6$ ve $|AC|=9$ olan bir $ABC$ üçgeni veriliyor. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin küçük $BC$ yayının orta noktası $D$ ise, $|BD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ 2 \sqrt6  \qquad\textbf{c)}\ 2 \sqrt5 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{10}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{21}$

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 09
Gönderen: ygzgndgn - Aralık 31, 2023, 02:28:55 ös

Cevap: $\boxed{E}$

$D$ küçük $BC$ yayının orta noktası ise eşit yayları gören kirişler eşit uzunlukta olacağından $|BD|=|DC|$ olmalıdır. Öte yandan $BC$ yayının ölçüsü $60^\circ$ olduğundan yayın yarısı $30^\circ$ olacaktır. $s(\widehat{BCD})=s(\widehat{CBD})=30^\circ$ olur. $D$ den $BC$ ye dik indirilirse ve dikme ayağına $E$ denirse ikizkenarlıktan $|BE|=|EC|$ olacaktır. Öte yandan $BDE$ üçgeni $30-60-90$ üçgeni olacaktır. Kosinüs Teoremi'nden $$|BC|^2=6^2+9^2-2\cdot 6\cdot 9\cdot \cos 60^\circ=63\Rightarrow |BC|=3\sqrt 7\Rightarrow |BE|=\frac{3\sqrt 7}{2}$$ elde edilir. O halde $BDE$ üçgeninden $|BD|=\sqrt{21}$ olmalıdır.