Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2022 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 04, 2022, 01:00:19 öö

Başlık: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12
Gönderen: matematikolimpiyati - Mayıs 04, 2022, 01:00:19 öö

12.1
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-12z)=-1$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.2
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-6z)=2$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.3
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-24z)=-13$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.4
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-24z)=-1$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.5
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+16z^2)+(4x-6xy-8z)=2$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $4$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.6
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+16z^2)+(4x-6xy-24z)=-6$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $4$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.7
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-12z)=4$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.8
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-6z)=7$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 2$

12.9
$x$, $y$ ve $z$ reel sayılar olmak üzere, $(5x^2+9y^2+9z^2)+(4x-6xy-24z)=-8$ eşitliği sağlanırsa, $z$ sayısının $3$ katı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 2$

Başlık: Ynt: 2022 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12
Gönderen: taftazani44 - Mayıs 04, 2022, 09:44:52 öö

5x²=x²+4x² olarak ayrılır ve x²-6xy+9y²,4x²+4x+1,9z²-12z+4-4
ifadeleri yazılırsa
(x-3y)²+(2x+1)²+(3z-2)²-4=0 elde edilir.
z nin en büyük olması diger tamkare ifadelerin 0 olması durumunda mümkün olur.
z=4/3  ve z= 0
3z=4 olur.