(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7192.0;attach=16277;image)
Önce uzun yoldan çözelim:
$GF=k$, $AG=2k$ ve $BC=a$ olsun.
$BG^2 = \dfrac {AB^2\cdot k + BF^2\cdot 2k}{3k} - 2k^2 = \dfrac {14^2 + 2BF^2}{3} - 2k^2$
$CG^2 = \dfrac {AC^2\cdot k + CF^2\cdot 2k}{3k} - 2k^2 = \dfrac {8^2 + 2CF^2}{3} - 2k^2$
$$BG^2 - CG^2 = \dfrac {14^2 - 8^2}{3} + \dfrac{2(BF^2 - CF^2)}3 \tag{1}$$
$BD^2 = \dfrac {AB^2 \cdot \frac {16}{3} + BC^2\cdot \frac 83} {8} - \dfrac {8}{3} \cdot \dfrac {16}{3} = \dfrac 23 \cdot 14^2 + \dfrac 13 BC^2 - \dfrac {2\cdot 8^2}{9}$
$CE^2 = \dfrac {AC^2 \cdot \frac {28}{3} + BC^2\cdot \frac {14}3} {14} - \dfrac {14}{3} \cdot \dfrac {28}{3} = \dfrac 23 \cdot 8^2 + \dfrac 13 BC^2 - \dfrac {2\cdot 14^2}{9}$
$$BD^2 - CE^2 = \dfrac {2}{3}(14^2 - 8^2) + \dfrac {2}{9}(14^2 - 8^2) = \dfrac {8}{9}(14^2 - 8^2) \tag {2}$$
$AE/AB = AD / AC$ olduğu için $DE \parallel BC$. $DF/FB = DE / BC = AE/AB = 1/3$.
Bu durumda $BF/BD = 3/4$ ve $BF^2 = \dfrac {9}{16}BD^2$. Benzer şekilde $CF^2 = \dfrac {9}{16}BE^2$.
$$BF^2 - CF^2 = \dfrac {9}{16}(BD^2 - CE^2) = \dfrac {14^2-8^2}{2} \tag {3}$$
$(1)$ de yerine yazarsak $$BG^2 - CG^2 = \dfrac {14^2 - 8^2}{3} + \dfrac {14^2 - 8^2}{3} = \dfrac {2}{3} (14^2 - 8^2) = \dfrac {2 \cdot 6 \cdot 22}{3} = 88 \tag {4}$$
$AE/AB = AD / AC = \dfrac 13$ olduğu için $DE \parallel BC$.
$AF$ ile $BC$, $N$ de kesişsin. $DE$ ile $AF$, $P$ de kesişsin.
$NF:FP:PA=3:1:2$ olacağı için $3PF = AF = 3GF$. Yani $G=P$ dir.
Benzer sonucu $\triangle ABF$ ve $E,G,D$ noktaları için Menelaus uyguladığımızda da elde ederiz.
$AN$ kenarortaydır. ($\triangle ABC$ de $F$ noktası için Ceva uyguladığımızda $BN=CN$ elde ederiz.)
Dolayısıyla $EG = GD$ elde ederiz.
Soru bundan sonra şu şekle bürünmüş oluyor:
$ABC$ üçgeninde $AC$ ve $AB$ kenarları üzerinde $DE \parallel BC$ olacak şekilde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınsın. $DE$ nin orta noktası $G$ ise $BG^2 - CG^2 = \dfrac {BE}{AB} \cdot (AB^2 - AC^2)$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7192.0;attach=16281;image)
$A, D, E, G$ noktalarının $BC$ üzerindeki izdüşümleri sırasıyla $H, K, L, M$ olsun.
$AB^2 - AC^2 = BH^2 - CH^2 = BC\cdot (BH - CH)$
$BG^2 - CG^2 = BM^2 - CM^2 = (BL + LM)^2 - (CK + KM^2) = BC \cdot (BL + LM - CK - KM) = BC \cdot (BL - CK)$
$BL = BH \cdot \dfrac {BE}{AB}$ ve $CK = CH \cdot \dfrac {CD}{AC}$ olduğu için $$\dfrac {BG^2 - CG^2}{AB^2-AC^2} = \dfrac {BE}{AB}$$ elde edilir. $\blacksquare$
Orijinal soruda yerine yazarsak $BG^2 - CG^2 = \dfrac {BE}{AB} (AB^2 - AC^2) = \dfrac 23 (14^2 - 8^2) = \dfrac 23 \cdot 6 \cdot 22 = 88$ elde ederiz.