Tüm çözümlerde kullanacağımız genel gösterimleri tanımlayalım: $|BC|=a, |CA|=b, |AB|=c$ ve $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ACB = \gamma$ olsun. $ABC$ üçgeninin $[BC], [CA], [AB]$ kenarlarına (gerekirse uzantılarına) inen dikmelerinin uzunluklarını $|OP|=x, |OQ|=y, |OR|=z$ ile gösterelim. $|OA|=R_1, |OB|=R_2, |OC|=R_3$ olsun.
Çözüm 1 [L. J. Mordell, 1937]:
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7115.0;attach=15727;image)
$AQOR$ bir kirişler dörtgeni olduğundan, $\angle QOR = \beta + \gamma$. $OQR$ üçgeninde kosinüs teoreminden, $$ QR = \left(y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta + \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} .$$
$ARQ$ üçgeninde sinüs teoreminden, $$ \dfrac{QR}{\sin \alpha} = R_1 .$$
Böylece,
\begin{align*}
R_1 & = \left(y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta + \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\
& = \left(y^2 + z^2 - 2yz(\cos\beta \cos\gamma - \sin \beta \sin \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\
& = \left(y^2(\cos^2 \gamma + \sin^2\gamma) + z^2(\cos^2 \beta + \sin^2\beta)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\
& = \left( \left( y\cos\gamma - z \cos\beta \right)^2 + \left( y\sin\gamma + z \sin\beta \right)^2\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\
& \geq \left( y\sin\gamma + z \sin\beta \right) / \sin \alpha .
\end{align*}
Buradan $$R_1 \geq y\dfrac{\sin\gamma}{\sin\alpha} + z\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} .$$
elde ederiz. Benzer şekilde,
\begin{align*}
R_2 & \geq z\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} + x\dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta} \\
R_3 & \geq x\dfrac{\sin\beta}{\sin\gamma} + y\dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma} .
\end{align*}
yazabiliriz. Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak,
$$ R_1 + R_2 + R_3 \geq x\left( \dfrac{\sin\beta}{\sin\gamma} + \dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta} \right) + y\left( \dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma} + \dfrac{\sin\gamma}{\sin\alpha} \right) + z\left( \dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} \right) .$$
$a,b$ pozitif sayıları için aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2$ olur. Sonuç olarak
$$ R_1 + R_2 + R_3 \geq 2(x + y + z)$$
eşitsizliğine ulaşırız.
Eşitlik koşulunu belirleyelim. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinde, $\sin\alpha = \sin\beta = \sin\gamma$ olmalıdır ve $\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$ bulunur. Yani $ABC$ bir eşkenar üçgendir. Ayrıca, $\left( y\cos\gamma - z \cos\beta \right)^2 = 0$ koşulundan $y=z$ elde edilir. Benzer eşitlik koşullarından $z=x$ olup $x=y=z$ bulunur. $O$ noktası $ABC$ eşkenar üçgeninin merkezi iken eşitlik sağlanır.
Dipnot: Bu, Erdös'ün sunduğu eşitsizliğe verilen ilk ispattır ve 1937'de Louis Joel Mordell tarafından AMM'de yayımlanmıştır. Gördüğünüz gibi, ispatı tamamen temel yöntemler içeriyor. Mordell'in ispatının güçlü etkileri daha sonra verilen ispatlarda da görülebilir.
Çözüm 2 [C. Alsina and R. B. Nelsen, 2007*]:
Orijinal ifadede $|AB|=c,\ |BC|=a,\ |CA|=b,\ |OA|=x,\ |OB|=y,\ |OC|=z,\ |OP|=p,\ |OQ|=q,\ |OR|=r$ diyelim. Bu gösterimle birlikte ispatlamak istediğimiz eşitsizlik
$$x+y+z \geq 2(p+q+r)$$
haline gelir.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7115.0;attach=16045)
Lemma: Yukarıdaki şekilde $ax \geq br+cq,\ by \geq ar+cp$ ve $cz \geq aq+bp$ dir.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7115.0;attach=16047)
Lemmanın ispatı: Aynı renkli üçgenler kendi aralarında benzer olup, sağdaki şekil bir dik yamuktur.(Açı özelliklerinden anlaşılabilir) Yamuğun içinde bulunan beyaz üçgen ise orijinal ifadedeki $ABC$ üçgeniyle benzerdir.
Buradan da görsel olarak $ax \geq br+cq$ olduğunu söyleyebiliriz. Diğer iki eşitsizlik de benzer mantıkla ispatlanabilir.
Şimdi ana eşitsizliği ispatlayabiliriz
Lemmadan dolayı :
$$x \geq \dfrac{b}{a}r+\dfrac{c}{a}q\ , \quad y \geq \dfrac{a}{b}r+\dfrac{c}{b}p\ , \quad z \geq \dfrac{a}{c}q+\dfrac{b}{c}p$$
olduğunu biliyoruz. Bu üç eşitsizliği taraf tarafa toplarsak :
$$x+y+z \geq \left( \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right)p + \left( \dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c} \right)q + \left( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \right)r$$
elde ederiz ayrıca Aritmetik Orta-Geometrik Orta eşitsizliğinden dolayı parantez içindeki ifadelerin en az $2$ olabileceğini de dikkate alırsak
$$\boxed{x+y+z \geq 2(p+q+r)}$$
sonucuna ulaşmış oluruz.
* C. Alsina and R. B. Nelsen, A visual proof of the Erdos-Mordell inequality, Forum Geometricorum, 7 (2007) 99–102