Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: geo - Ocak 31, 2022, 10:23:20 ös
-
$p$ bir asal sayı olmak üzere; $$f(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1$$ polinomunun indirgenemez olduğunu gösteriniz.
-
Polinomun bu şekline Eisenstein Kriteri (https://geomania.org/forum/index.php?topic=7108.0)nin uygulanamayacağı açıkça görülür. Ancak $f(x) = \dfrac {x^p-1}{x-1}$ olduğunu gözleyerek ve $x = y+1$ tanımlayarak $$\begin{array}{lcl}
f(x) & = & \dfrac {(y+1)^p - 1}{y} \\
& = & \dfrac 1y \left \{ \displaystyle \sum_{j=0}^{p} \binom{p}{j}y^{p-j} - 1\right \} \\
& = & \displaystyle \sum_{j=0}^{p-1} \binom{p}{j}y^{p-1-j} \\
& = & y^{p-1} + py^{p-2} + \dfrac {p(p-1)}{2}y^{p-3} + \cdots + p \\
& \overset{\text{tanım}}{=} & g(y)
\end{array}$$
$g(y)$'nin ilki hariç bütün katsayıları $p$ asal sayısı ile bölünebilir. Bunun nedenini görmek için bu katsayıların her birinin payında $p$ çarpanı olduğunu ve paydasındaki sayıların da $p$ den küçük tam sayıların çarpımı olduğunu ve dolayısıyla $p$ ile sadeleşemeyeceğini gözlemek yeterlidir. $g(y)$ polinomunun Eisenstein Kriterinin diğer koşullarını sağladığı açıkça görüldüğünden, $g(y)$ polinomu $\mathbb Z [ y ] $ içinde indirgenemez. Buradan da $f(x)$ in indirgenemediği çıkar. Aksi olsaydı, yani $f(x) = f_1(x)f_2(x)$ şeklinde yazılabilseydi, $$g(y) = f(x+1) = f_1(x+1)f_2(x+1) = f_1(y)f_2(y)$$ olacağından $g(y)$ indirgenebilecekti.