Öncelikle bu güzel soru için teşekkürler geo hocam. Olimpiyat dersi verdiğim öğrencilere uygun bir konu içinde problemi sunabilirim. Bu sebeple, soru size aitse ya da başka kaynağı varsa belirtebilirseniz sevinirim.
Çözüm (L. Gökçe): $BHC$ üçgeninde kenarortay uzunluk teoremini yazarsak $BH^2 + CH^2 - \dfrac{BC^2}{2}=2MH^2 $ olur. O halde $4(BH^2 + CH^2) = 3BC^2 \iff BC=2\sqrt{2}MH$ olur. $BC=2\sqrt{2}MH$ olduğunu gösterirsek problem çözülmüş olur.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=7064.0;attach=15641;image)
$ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a,b,c$, yarıçevresi $s$ ve iç teğet çemberin yarıçapı $r$ olsun. $M$ den $AB$, $AC$ kenarlarına inen dikme ayakları $E$, $F$ olsun. $AK=AL=r = s-a$, $KL=r\sqrt{2}$,$ME=\dfrac{b}{2}$, $MF=\dfrac{c}{2}$ olur. $MH$ uzunluğunu hesaplamak için $AKL$ üçgeninin alanından faydalanalım.
$$A(AKL)=\dfrac{r^2}{2}=A(KMA) + A(LMA) - A(KML) = \dfrac{rb}{4} + \dfrac{rc}{4} - \dfrac{r\sqrt{2}MH}{2} $$
eşitliğini $4$ ile çarpıp $r$ ile bölersek $2\sqrt{2}MH = 2r - (b+c) = 2(s-a) - (b+c) = a = BC$ elde edilir.