Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Temmuz 10, 2021, 07:17:34 ös
-
Farklı $9$ pozitif tam sayının tam olarak ikisi $2$ ile, tam olarak üçü $3$ ile, tam olarak beşi $5$ ile ve tam olarak yedisi $7$ ile tam bölünmektedir. Buna göre bu sayıların en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?
$
\textbf{a)}\ 75
\qquad\textbf{b)}\ 105
\qquad\textbf{c)}\ 210
\qquad\textbf{d)}\ 315
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Farklı 9 pozitif sayının tam olarak ikisi 2 ile, tam olarak üçü 3 ile , tam olarak beşi 5 ile ve tam olarak yedisi 7 ile bölünmektedir.
Öyleyse sayıların en az üçü 5 ve 7 ile bölünür yine sayıların en az biri 3 ve 7 ile bölünür. Bu dokuz sayıyı;
$21k_1$ , $35k_2$ , $35k_3$ , $35k_4$ , $7k_5$ , $7k_6$ , $7k_7$ , $k_8$ , $k_9$ şeklinde gösterebiliriz.
Bu durumda tam olarak yedisi 7 ile bölünmektedir.
$35k_2$ , $35k_3$ , $35k_4$ sayıları birbirinden farklı olacağı ve sayıların en büyüğünün en az olması
istendiği için $k_2=1$ ,$k_3=2$ ,$k_4=3$ seçilir.
Bu durumda sayıların en büyüğünün en küçük değeri $35k_4=105$ olmak zorundadır.
Şimdi bu sayıların tam olarak ikisi 2 ile bölüneceği, tam olarak üçü 3 ile bölüneceği ve tam olarak beşi 5 ile bölüneceği için
$k_1=1$, $k_5=1$ , $k_6=7$, $k_7=9$, $k_8=10$ ve $k_9=25$ seçtiğimizde problemde istenen şartlar garantilenmektedir.
Sayılar $21 , 35 , 70 , 105 , 7 , 49 , 63 , 10 , 25$ olur.
2 ile bölünenler $35k_3=70$ ,$k_8=10$
3 ile bölünenler $21k_1=21$ ,$35k_4=105$ , $k_7=63$
5 ile bölünenler $35k_2=35$ , $35k_3=70$ , $35k_4=105$ ,$k_8=10$ ve $k_9= 25$