Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Temmuz 09, 2021, 02:23:28 ös
-
$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n^2$ yi tam bölen ancak $n$'yi tam bölmeyen pozitif tam sayıların sayısı $9$ ise, $n$ sayısının pozitif tam bölen sayısı kaç farklı değer alabilir?
$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Cevap: $\boxed{A}$
$n$'yi bölen her sayı $n^2$'yi de böleceğinden $n^2$yi tam bölen ancak $n$'yi tam bölmeyen pozitif tam sayıların sayısı bu iki sayının pozitif bölenlerin sayısının farkıdır. $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ ise $$(2a_1+1)(2a_2+1)\cdots (2a_k+1)-(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)=9$$ olacaktır. Sol taraftaki ifade, her değişkeni için artan bir ifadedir. $(2a_i+1)$ dışında kalan katsayıya $A_i$ ve $(a_i+1)$ dışında kalan katsayıya $B_i$ dersek, sol taraf $A_i(2a_i+1)-B_i(a_i+1)=a_i(2A_i-B_i)+(A_i-B_i)$ olacaktır. $A_i>B_i$ olduğu bariz olduğundan ifade artandır. Dolayısıyla en küçük değerini $a_1=a_2=\cdots=a_k=1$ iken alır. Bu durumda da $3^k-2^k$ ifadesine eşittir. $9\geq 3^k-2^k$ olması gerektiği için ve sağ taraf çok hızlı büyüdüğü için $k\geq 3$ için eşitsizlik sağlanmayacaktır. Dolayısıyla $k=1,2$ olabilir (Hiç asal sayının olmadığı $1$ durumunun çözüm olmadığı barizdir).
Eğer $k=1$ ise $(2a_1+1)-(a_1+1)=a_1=9$ olur. $n=p^9$ formatındadır ve pozitif bölen sayısı $10$'dur.
Eğer $k=2$ ise $(2a_1+1)(2a_2+1)-(a_1+1)(a_2+1)=3a_1a_2+a_1+a_2=9$ olur. $a_1,a_2\geq 2$ için ifadenin $9$'dan büyük olacağı barizdir. Dolayısıyla genelliği bozmadan $a_1=1$ diyebiliriz. Bu durumda $a_2=2$ bulunur. Yani $n=pq^2$ formatındadır ve pozitif bölen sayısı $6$'dır.
$n$'nin pozitif bölen sayısı $2$ farklı değer alabilir.