Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Temmuz 09, 2021, 02:21:55 ös
-
$f(x)=x^2(x-1)(x-3)$ olmak üzere, $$\sum_{n=1}^{12}f\left (x_n\right )=-4$$ denklemini sağlayan $\left(x_1,x_2,\dots,x_{12}\right)$ tam sayı $12$-lilerinin sayısının $11$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$
-
Cevap: $\boxed{B}$
İstenen toplam $S$ olsun
Polinomun alabileceği minimum pozitif değer $x=-1$ için $8$'dir. Toplamın $-4$ gelmesi için $k$ tane $8$, $2k+1$ tane $-4$ ve $11-3k$ tane $0$ olmalıdır.
Bu durumda $k$, $2k+1$ ve $11-3k$'nın alabileceği değerler $(0,1,11)$ $(1,3,8)$ $(2,5,5)$ $(3,7,2)$ dir.
1.durum için $\dbinom{12}{1}\cdot\dbinom{11}{3}\cdot 3^8\equiv0\pmod{11}$
2.durum için $\dbinom{12}{2}\cdot\dbinom{10}{5}\cdot 3^5\equiv0\pmod{11}$
3.durum için $\dbinom{12}{3}\cdot\dbinom{9}{7}\cdot 3^2\equiv0\pmod{11}$
4.durum için $\dbinom{12}{1}\cdot\ 3^{11}\equiv3\pmod{11}$
Taraf tarafa toplarsak $S\equiv3\pmod{11}$
-
Çözümde ufak bir eksiklik olmuş sanırım. İstenen toplam $S$ olsun
Polinomun alabileceği minimum pozitif değer $x=-1$ için $8$'dir. Toplamın $-4$ gelmesi için $k$ tane $8$, $2k+1$ tane $-4$ ve $11-3k$ tane $0$ olmalıdır.
Bu durumda $k$, $2k+1$ ve $11-3k$'nın alabileceği değerler $(0,1,11)$ $(1,3,8)$ $(2,5,5)$ $(3,7,2)$ dir.
1.durum için $\dbinom{12}{1}\cdot\dbinom{11}{3}\cdot 3^8\equiv0\pmod{11}$
2.durum için $\dbinom{12}{2}\cdot\dbinom{10}{5}\cdot 3^5\equiv0\pmod{11}$
3.durum için $\dbinom{12}{3}\cdot\dbinom{9}{7}\cdot 3^2\equiv0\pmod{11}$
4.durum için $\dbinom{12}{1}\cdot\ 3^{11}\equiv3\pmod{11}$
Taraf tarafa toplarsak $S\equiv3\pmod{11}$
Haklısınız, negatif olmayan tamsayılar için çözmüşüm ve şans eseri doğru cevap bulmuşum. Sizin çözümünüzde benim yanıtım zaten bulunduğundan ve soruya bakacak kişilerin ilk benim çözümümü görüp yanlış çözüm okumamaları için kendi çözümümü kaldıracağım. Zaten düzelteceğim hali sizinkiyle aynı olacaktı. Düzeltmeniz için teşekkürler.