Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Temmuz 09, 2021, 02:19:50 ös
-
Başlangıçta bir tahtada $29$ sayısı yazılıdır. Her işlemde tahtada yazılı $a$ sayısı silinip yerine $17a+1$ ya da $a-7$ sayılarından biri yazılıyor. Sonlu sayıda işlem sonucunda tahtada yazılı olamayacak en küçük beş basamaklı pozitif tam sayı kaçtır?
$
\textbf{a)}\ 10002
\qquad\textbf{b)}\ 10003
\qquad\textbf{c)}\ 10004
\qquad\textbf{d)}\ 10005
\qquad\textbf{e)}\ 10006
$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Tahtada yazılı olan sayıya $a \rightarrow a-7$ işlemini uygularsak $7$'ye bölümünden kalanı değişmez.
Tahtada yazılı olan sayıya $a \rightarrow 17a+1$ işlemini uygularsak $7$'ye bölümünden kalanını inceleyelim:
$29$'un $7$'ye bölümünden kalan $1$'dir ve $a \rightarrow 17a+1$ işlemi $7$ modunda $3a+1$ işlemine denktir, her ok bir kez işlem uygulanmasını göstermek üzere,
$1 \rightarrow 4 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 0 \rightarrow 1 \rightarrow \dots$
şeklinde periyodik olacaktır ve $7$'ye bölümünden kalan asla $3$ olmayacaktır, $10006$ sayısı elde edilemeyecek en küçük beş basamaklı pozitif tam sayıdır.
Diğer şıklar, $29$ sayısını şıklardaki sayılarla $7$'ye bölümünden kalan aynı ve şıklardan büyük olana kadar $a \rightarrow 17a+1$ işlemi uygulanıp $a \rightarrow a-7$ işlemi sayıya ulaşana kadar uygulanarak elde edilebilir.