Cevap: $\boxed{A}$
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6989.0;attach=15629;image)
$AD$ kenarının orta noktası $F$ olsun. $EF$ doğrusu küçük $CD$ yayını $K'$ noktasında, küçük $AD$ yayını ise $L'$ noktasında kessin. Karenin bir kenarına $2x$ dersek, çemberin yarıçapı $x\sqrt{2}$ ve $|DE|=|EC|=|DF|=|FA|=x$ olur. $K'$ ve $L'$, $OD$'ye göre simetrik olduğundan $|L'F|=|K'E|=y$ diyebiliriz. Çemberde kuvvetten, $|AF||FD|=|L'F||FK'|$ olacaktır. Buradan, $x^2=y(y+x\sqrt{2})$ elde edilir. Bunu, $y$'ye bağlı ikinci dereceden denklem olarak yazıp, diskriminant ile çözümünü bulunursak, $y=\dfrac{x\sqrt{6}-x\sqrt{2}}{2}$ elde edilir. $|L'K'|=x\sqrt{6}$ elde edilir. $OL'K'$ üçgeninin kenarları $x\sqrt{2}-x\sqrt{2}-x\sqrt{6}$ olduğundan $m(\widehat{L'OK'})=120^\circ$ bulunur. Yani $K$ noktası ile $K'$ noktası çakışıktır (Eğer değillerse soru hatalı olacaktır, o yüzden ispatlama gereği duymadım). $m(\widehat{KOC})=30^\circ$ olacağından (simetrik olduğundan $m(\widehat{KOC})=m(\widehat{LOA})$ olmalıdır) $m(\widehat{KDC})=15^\circ$ bulunur.
Not: Soru içerisinde de bahsettiğim gibi aslında klasik bir sınav olsaydı, bu çözüm tam bir çözüm olmazdı çünkü neden $K=K'$ olması gerektiği ispatlanmamış. Test mantığı ile $K$ ve $K'$, sorudaki şartları sağladığı için $K'=K$ olmalıdır çünkü olmasaydı bariz bir şekilde $m(\widehat{KDC})\neq m(\widehat{K'DC})$ olacaktı.