Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Temmuz 09, 2021, 02:15:08 ös
-
$n=5,7,11,13,121$ değerlerinden kaç tanesi için $\dfrac{k^2+3k+5}{n}$ tam sayı olacak şekilde $k$ tam sayısı bulunmaz?
$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$
-
Cevap:$\boxed{C}$
Bizden $k^2+3k+5\equiv 0\pmod{n}$ olacak şekilde $k$ tamsayısı olup olmadığını bulmamız isteniliyor. Verilen değerlerin hepsi tek sayı olduğundan $n$'yi tek sayı olarak değerlendirebiliriz. Dolayısıyla $$4k^2+12k+20\equiv (2k+3)^2+11\equiv 0\pmod{n}$$ olması yeterlidir. $-11$, $n$ modunda karekalandır. Öncelikle $n=11$ için karekalan olduğu barizdir fakat $n=121$ için karekalan değildir. Çünkü $(2k+3)^2\equiv 0\pmod{11}$ ise $(2k+3)^2\equiv 0\pmod{121}$ olacaktır. $n=5,7,13$ için de karekalanları hesaplamak kolaydır. $n=5$ için karekalandır fakat $n=13$ ve $n=7$ için $-11$ karekalan değildir. Dolayısıyla sadece $n=7,13,121$ için verilen ifadeyi tam sayı yapan bir $k$ tamsayısı bulunmaz.
-
Yanıt: $\boxed{C}$
Karekalan kavramına benim gibi hakim olmayanlar için daha işleme dayalı bir çözüm verelim. $n=5$ için $k=5p$ durumu ifadeyi tam sayı yapar. $n=7$ durumunda $k=7p\pm 1,7p \pm 2,7p \pm 3$ durumları denendiğinde $n\nmid k^2+3k+5$ tir. Bu $n=13$ durumunda da geçerlidir. $n=11$ durumunda sadece $k=11p+4$ için ifade tam sayı olur. $n=121$ için $n=11$ durumunda $k=11p+4$ olması gerektiğinden $n\mid (11p+4)^2+3(11p+4)+5=121k^2+121k+33$ olmalıdır, ki bu sağlanmaz. Yani $n=7,13,121$ durumunda ifade tam sayı değildir.