Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Mayıs 22, 2021, 06:10:23 ös
-
Michael Penn (https://www.youtube.com/watch?v=9kDuoG2qBSM) adlı kanalda gördüğüm ve hoşuma giden bir soruyu paylaşmak istiyorum.
$Y,E,A,R$ birer rakam olmak üzere (farklı olmak zorunda değil), $YEAR$ sayısına, eğer aşağıdaki denklem sistemini sağlayan en az $2$ çözüm varsa, muhteşem yıl diyelim. $$Ya+Eb+Ac+Rd=Y$$ $$Ra+Yb+Ec+Ad=E$$ $$Aa+Rb+Yc+Ed=A$$ $$Ea+Ab+Rc+Yd=R$$ Buna göre $21.$ yüzyılda kaç tane muhteşem yıl vardır? (Gregoryen takvime göre $21.$ yüzyıl, $2000$ ile $2100$ arasındaki yılları kapsar, $2100$ dahildir fakat $2000$ dahil değildir).
-
Niyeyse başlığı ilk gördüğümde ''Muhteşem Yüzyıl Sorusu'' diye okudum ;D
-
Niyeyse başlığı ilk gördüğümde ''Muhteşem Yüzyıl Sorusu'' diye okudum ;D
Hocam bunlar hep bilinçaltının eserleri. Yoğun bir şekilde tarih dizisine maruz kalmışsınız :D
-
Verilen sistemi matrislerle gösterebiliriz. $$\begin{bmatrix}
Y & E & A & R\\
R & Y & E & A\\
A & R & Y & E\\
E & A & R & Y\\
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
a\\
b\\
c\\
d\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
Y\\
E\\
A\\
R\\
\end{bmatrix}$$ olacaktır. En soldaki $4\times 4$'lük matrise $X$ diyelim. Eğer $X$'in tersi varsa $$ \begin{bmatrix}
a\\
b\\
c\\
d\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
Y & E & A & R\\
R & Y & E & A\\
A & R & Y & E\\
E & A & R & Y\\
\end{bmatrix}^{-1}\cdot\begin{bmatrix}
Y\\
E\\
A\\
R\\
\end{bmatrix}$$ olacağından tek çözüm olacaktır. Yani $X$'in tersi yoktur, başka bir deyişle $\det X=0$ olmalıdır. Ayrıca $YEAR$ sayısı $(2000,2100]$ arasında olduğundan $Y=2$ ve $YEAR=2100$ istisnası hariç $E=0$'dır. $2100$ için determinantın $15$ olduğu kolayca hesaplanabilir, bu yüzden onu hesaba katmaya gerek yoktur. $E=0$ kabul edebiliriz. Matrisin bu haliyle determinantını hesaplarsak, $$\det X=A^4-8A^2-R^4+8AR^2+16=(A-R+2)(A+R+2)((A-2)^2+R^2)$$ bulunur. $\det X=0$ olması için $A+2=R$ veya $(A,R)=(2,0)$ olmalıdır. Yani determinantın $0$ olmasını sağlayan sayılar $2020,2002,2013,2024,2035,2046,2057,2068,2079$ sayılarıdır. Geriye sadece bu değerler için sistemin çözümünün mü olmadığı, yoksa sonsuz çözümünün mü olduğunu bulmak kalıyor. $2020$ diğerlerinden farklı formatta olduğundan onu elle denemekte fayda var. Denersek, $2020$ için sistemin sonsuz çözümü olduğu görülebilir. Yani $2020$ muhteşem bir yıldır.
Diğer yıllar için genel bir sağlama yapmak için $R=A+2$ yazarak matrisi inceleyebiliriz. Gauss eleme yöntemi ile $(a,b,c,d)=\left(\frac{4-2A}{A^2+4}-k,\frac{A^2-4}{A^2+4}+k,\frac{2A+4}{A^2+4}-k,k\right)$ şeklinde bir çözüm buluruz. Yani bu sayılar için de sonsuz çözüm vardır. Yani $2002,2013,2020,2024,2035,2046,2057,2068,2079$ yıllarının hepsi muhteşem yıllardır.